以下の4つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$ (4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

はい、承知いたしました。画像にある4つの極限の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$

(4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$

分子に $x = -1$ を代入すると $(-1)^3 - 4(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 - 4 - 2 + 1 = -6$ となり、分母に $x = -1$ を代入すると $(-1)^5 - 1 = -1 - 1 = -2$ となります。

よって、

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1} = \frac{-6}{-2} = 3$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$

ここで、$t = 2x$ とおくと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となり、$x = \frac{t}{2}$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{3(t/2)} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{3} \frac{e^t - 1}{t} = \frac{2}{3} \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$ であるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x} = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$

ここで、$t = x^2$ とおくと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となります。また、$x = \pm \sqrt{t}$ です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)}{\pm \sqrt{t}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$ を使うために、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)}{\pm \sqrt{t}} = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)}{t} \times \frac{t}{\pm \sqrt{t}} = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)}{t} \times \lim_{t \to 0} (\pm \sqrt{t}) = 1 \times 0 = 0$

(4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

$t = \pi - x$ とおくと、$x = \pi - t$ であり、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi - t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

（$\sin(\pi - t) = \sin t$ を使用しました。）

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $\frac{2}{3}$

(3) 0

(4) 1