以下の3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ の場合:

ロピタルの定理を適用します。$\log x$ を微分すると $\frac{1}{x}$、 $x^2$ を微分すると $2x$ となるため、以下のようになります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{2x^2} \to 0$ となります。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ の場合:

ロピタルの定理を繰り返し適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x + xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{(e^x + xe^x) + e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{2e^x + xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x(2+x)}$

$x \to \infty$ のとき、 $e^x \to \infty$ かつ $(2+x) \to \infty$ となるため、分母は無限大に発散し、極限は0になります。

(3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$ の場合:

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。

$\arctan x - \frac{\pi}{2} = -\arctan \frac{1}{x} = -\arctan t$　(∵ $\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$)

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (-\arctan t) = \lim_{t \to 0} \frac{-\arctan t}{t}$

ロピタルの定理を適用します。$\arctan t$ を微分すると $\frac{1}{1+t^2}$、 $t$ を微分すると $1$ となるため、以下のようになります。

$\lim_{t \to 0} \frac{-\arctan t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{1}{1+t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1}{1+t^2} = \frac{-1}{1+0} = -1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) -1