与えられた式は、底が5の対数関数の和と差で表されています。この式を計算して、最終的な値を求めます。 $3 \log_5{\frac{2}{\sqrt{5}}} + \log_5{\frac{5}{6}} - \log_5{\frac{4}{3}}$

1. 問題の内容

与えられた式は、底が5の対数関数の和と差で表されています。この式を計算して、最終的な値を求めます。

$3 \log_5{\frac{2}{\sqrt{5}}} + \log_5{\frac{5}{6}} - \log_5{\frac{4}{3}}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$3 \log_5{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \log_5{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3} = \log_5{\frac{2^3}{(\sqrt{5})^3}} = \log_5{\frac{8}{5\sqrt{5}}} = \log_5{\frac{8}{5^{3/2}}}$

したがって、与えられた式は次のように書き換えられます。

$\log_5{\frac{8}{5\sqrt{5}}} + \log_5{\frac{5}{6}} - \log_5{\frac{4}{3}}$

対数の和と差を積と商に変換します。

$\log_5{\frac{8}{5\sqrt{5}}} + \log_5{\frac{5}{6}} = \log_5{\left(\frac{8}{5\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{6}\right)} = \log_5{\frac{8}{6\sqrt{5}}} = \log_5{\frac{4}{3\sqrt{5}}}$

$\log_5{\frac{4}{3\sqrt{5}}} - \log_5{\frac{4}{3}} = \log_5{\frac{\frac{4}{3\sqrt{5}}}{\frac{4}{3}}} = \log_5{\left(\frac{4}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{4}\right)} = \log_5{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

$\log_5{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \log_5{5^{-1/2}} = -\frac{1}{2}\log_5{5} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$