定積分 $\int_{1}^{9} \sqrt{x} \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{9} \sqrt{x} \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} \, dx$

次に、$x^{\frac{1}{2}}$ の不定積分を計算します。不定積分の公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

したがって、

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9}$

定積分の定義より、

$\left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} = \frac{2}{3} (9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}})$

$9^{\frac{3}{2}} = (9^{\frac{1}{2}})^3 = 3^3 = 27$

$1^{\frac{3}{2}} = 1$

$\frac{2}{3} (27) - \frac{2}{3} (1) = \frac{54}{3} - \frac{2}{3} = \frac{52}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{52}{3}$