$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた極限を求めるために、自然対数 $e$ の定義を利用します。

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

または、

$e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$

これを利用するために、与えられた極限を少し変形します。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$

ここで、$y = -\frac{x}{2}$ とおくと、$x = -2y$ となり、$x \to \infty$ のとき $y \to -\infty$ となります。しかし、これは少し扱いづらいので、$x$ を直接置換せずに、以下のように変形します。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-2}{x})^x$

ここで、$n = -\frac{x}{2}$ とすると、$x = -2n$ となります。すると、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-2}{x})^x = \lim_{n \to -\infty} (1 + \frac{1}{n})^{-2n} = \lim_{n \to -\infty} [(1 + \frac{1}{n})^{n}]^{-2}$

$\lim_{n \to -\infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

であるため、

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e^2}$