$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x} + \sin{x}}{\sin{2x}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x} + \sin{x}}{\sin{2x}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\sin{ax} \approx ax$（$x \to 0$ のとき）という近似を利用して解きます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$であることを用います。

まず、分子と分母をそれぞれ$x$で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x} + \sin{x}}{\sin{2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin{3x}}{x} + \frac{\sin{x}}{x}}{\frac{\sin{2x}}{x}}$

次に、$\frac{\sin{3x}}{x} = 3 \frac{\sin{3x}}{3x}$、$\frac{\sin{x}}{x}$、$\frac{\sin{2x}}{x} = 2 \frac{\sin{2x}}{2x}$のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{\sin{3x}}{3x} + \frac{\sin{x}}{x}}{2 \frac{\sin{2x}}{2x}}$

$x \to 0$のとき、$3x \to 0$、$2x \to 0$なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{3x} = 1$、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{2x} = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{\sin{3x}}{3x} + \frac{\sin{x}}{x}}{2 \frac{\sin{2x}}{2x}} = \frac{3 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

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