$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、式を書き換えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cdot \cos x}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、分母分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cdot \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} \cdot \cos x}{\frac{\sin x}{x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} \cdot \cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ を計算するために、$\frac{\sin 3x}{x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3$ と変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

また、$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ です。

したがって、

$\frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3$

3. 最終的な答え

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