$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{\sin{5x}}$ を計算する問題です。

解析学極限三角関数ロピタルの定理

2025/7/30

1. 問題の内容

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{\sin{5x}}

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1

を利用します。

まず、与えられた式を変形します。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{\sin{5x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{2x}{5x}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{2x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{5x}}{5x} = 1

なので、

\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin{5x}} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin{5x}}{5x}} = \frac{1}{1} = 1

したがって、

\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{\sin{5x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}

3. 最終的な答え

\frac{2}{5}

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