$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となる。よって、与えられた極限は以下のように書き換えられる。

$$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e (1 + t)}{t}$$

ここで、$\log_e (1 + t)$ の $t=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を考える。

$\log_e (1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$

である。

従って、

$$\frac{\log_e (1 + t)}{t} = 1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \dots$$

したがって、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e (1 + t)}{t} = \lim_{t \to 0} \left( 1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \dots \right) = 1$$

別の解法として、ロピタルの定理を使うこともできる。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理が適用できる。

分子を微分すると $\frac{\cos x}{1 + \sin x}$、分母を微分すると $\cos x$ である。

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1 + \sin x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{(1 + \sin x) \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x}$$

ここで、$x \to 0$ とすると、$\sin x \to 0$ となるので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + 0} = 1$$

3. 最終的な答え

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