与えられた関数の極限値を求める問題です。以下の8つの極限値を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$ (3) $\lim_{x \to -1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$ (5) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$ (7) $\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$ (8) $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^{\frac{1}{x}})$

## 問題91の(1)から(8)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限値を求める問題です。以下の8つの極限値を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$

(3) $\lim_{x \to -1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$

(5) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$

(7) $\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$

(8) $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^{\frac{1}{x}})$

2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$**

ロピタルの定理を使うか、$\tan^{-1}x$のマクローリン展開を使います。マクローリン展開を使うと、$\tan^{-1}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5} - \dots) = 1$

**(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$**

ロピタルの定理を使うか、マクローリン展開を使います。$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$、$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots = 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \dots$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots)}{x - (2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \dots)} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} - \dots}{-x + \frac{4x^3}{3} - \frac{4x^5}{15} + \dots}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots}{-1 + \frac{4x^2}{3} - \frac{4x^4}{15} + \dots} = \frac{1}{-1} = -1$

**(3) $\lim_{x \to -1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3}$**

$x = -1$ を代入すると $\frac{-(-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1)}{2(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) + 3} = \frac{1 + 2 + 1}{-2 - 1 + 4 + 3} = \frac{4}{4} = 1$. したがって、

$\lim_{x \to -1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3} = 1$

**(4) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$**

ロピタルの定理を使うと、$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \frac{1}{1} = 1$.

または、$x = 1 + h$と置くと、$x \to 1$のとき$h \to 0$なので、$\lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$

**(5) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$**

$x = \frac{\pi}{2} + h$とおくと、$x \to \frac{\pi}{2}$のとき$h \to 0$なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{(2(\frac{\pi}{2} + h) - \pi)^2}{\sin (\frac{\pi}{2} + h) - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{(2h)^2}{\cos h - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{4h^2}{\cos h - 1}$

$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \dots$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{4h^2}{1 - \frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \dots - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{4h^2}{-\frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \dots} = \lim_{h \to 0} \frac{4}{-\frac{1}{2} + \frac{h^2}{24} - \dots} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8$

**(6) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$**

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - \frac{4x^6}{45} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + (1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - \frac{4x^6}{45} + \dots) - 1}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^4}{3} - \frac{4x^6}{45} + \dots}{x^4} = \lim_{x \to 0} (\frac{2}{3} - \frac{4x^2}{45} + \dots) = \frac{2}{3}$

**(7) $\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$**

$\lim_{x \to +0} \log x^{2x} = \lim_{x \to +0} 2x \log x$. $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$であることはよく知られているので、$\lim_{x \to +0} 2x \log x = 0$

**(8) $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^{\frac{1}{x}})$**

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$だから、$e^{\frac{1}{x}} \to e^0 = 1$。

したがって、$\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^{\frac{1}{x}}) = \log(1 + 1) = \log 2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -1

(3) 1

(4) 1

(5) -8

(6) $\frac{2}{3}$

(7) 0

(8) $\log 2$