画像には３つの問題があります。 (オ) $(e^x \tan x)'$ の微分を求める問題です。 (キ) $\int \frac{1}{x\sqrt{x}} dx$ の不定積分を求める問題です。 (ケ) $\int 2xe^{x^2} dx$ の不定積分を求める問題です。

1. 問題の内容

画像には３つの問題があります。

(オ) $(e^x \tan x)'$ の微分を求める問題です。

(キ) $\int \frac{1}{x\sqrt{x}} dx$ の不定積分を求める問題です。

(ケ) $\int 2xe^{x^2} dx$ の不定積分を求める問題です。

2. 解き方の手順

(オ) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。$u = e^x$, $v = \tan x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ となります。したがって、

$(e^x \tan x)' = e^x \tan x + e^x \sec^2 x = e^x(\tan x + \sec^2 x)$

(キ) $\frac{1}{x\sqrt{x}} = x^{-1} x^{-1/2} = x^{-3/2}$ と書き換えます。$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int x^{-3/2} dx = \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} + C = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2x^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C$

(ケ) $t = x^2$ と置換すると、$\frac{dt}{dx} = 2x$ となります。したがって、$dt = 2x dx$ となり、

$\int 2xe^{x^2} dx = \int e^t dt = e^t + C = e^{x^2} + C$

3. 最終的な答え

(オ) $e^x(\tan x + \sec^2 x)$

(キ) $-\frac{2}{\sqrt{x}} + C$

(ケ) $e^{x^2} + C$