関数 $y = x^{\log x}$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\log x}$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は対数微分法を用いて解くのが適しています。

まず、両辺の自然対数をとります。

$$\log y = \log (x^{\log x})$$

対数の性質 $\log(a^b) = b \log a$ を用いると、

$$\log y = (\log x) (\log x) = (\log x)^2$$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は $y$ で微分してから $y'$ を掛けます。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x}$$

ここで、$\frac{dy}{dx}$ は $y'$ を意味します。

$$\frac{1}{y} y' = \frac{2 \log x}{x}$$

したがって、

$$y' = y \cdot \frac{2 \log x}{x}$$

ここで、$y = x^{\log x}$ を代入すると、

$$y' = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$$

$$y' = \frac{2 (\log x) x^{\log x}}{x}$$

3. 最終的な答え

$$y' = \frac{2 (\log x) x^{\log x}}{x}$$