$x \geq 0$ のとき、以下の不等式が成り立つことを証明する。 (1) $e^{2x} \geq 2x + 1$ (2) $\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、以下の不等式が成り立つことを証明する。

(1) $e^{2x} \geq 2x + 1$

(2) $\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$

2. 解き方の手順

(1) $e^{2x} \geq 2x + 1$ の証明

関数 $f(x) = e^{2x} - (2x + 1)$ を定義する。

$x \geq 0$ において $f(x) \geq 0$ を示す。

$f(0) = e^{2(0)} - (2(0) + 1) = 1 - 1 = 0$

$f'(x) = 2e^{2x} - 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$

$x \geq 0$ において $e^{2x} \geq 1$ であるから、$f'(x) \geq 0$ が成り立つ。

よって、$f(x)$ は $x \geq 0$ で単調増加である。

$f(0) = 0$ なので、$x \geq 0$ において $f(x) \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$e^{2x} \geq 2x + 1$ が証明された。

(2) $\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$ の証明

関数 $g(x) = \log(1+x) - (x - \frac{1}{2}x^2)$ を定義する。

$x \geq 0$ において $g(x) \geq 0$ を示す。

$g(0) = \log(1+0) - (0 - \frac{1}{2}(0)^2) = 0 - 0 = 0$

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - (1 - x) = \frac{1 - (1-x)(1+x)}{1+x} = \frac{1 - (1-x^2)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$

$g''(x) = \frac{2x(1+x) - x^2(1)}{(1+x)^2} = \frac{2x + 2x^2 - x^2}{(1+x)^2} = \frac{2x + x^2}{(1+x)^2} = \frac{x(2+x)}{(1+x)^2}$

$x \geq 0$ において $g'(x) \geq 0$ が成り立つ。

よって、$g(x)$ は $x \geq 0$ で単調増加である。

$g(0) = 0$ なので、$x \geq 0$ において $g(x) \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$ が証明された。

3. 最終的な答え

(1) $x \geq 0$ のとき、$e^{2x} \geq 2x + 1$ が成り立つ。

(2) $x \geq 0$ のとき、$\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$ が成り立つ。