$\int \frac{x}{x+1} dx$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

$\int \frac{x}{x+1} dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$\frac{x}{x+1}$ を $\frac{x+1-1}{x+1}$ と変形します。

すると、

$\frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

となります。

したがって、

$\int \frac{x}{x+1} dx = \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x+1} dx$

ここで、$\int 1 dx = x$ です。

また、$\int \frac{1}{x+1} dx = \log|x+1|$ です。（合成関数の積分）

したがって、

$\int \frac{x}{x+1} dx = x - \log|x+1| + C$

3. 最終的な答え

$x - \log|x+1| + C$