$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2\sqrt{1+x}-2-x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2\sqrt{1+x}-2-x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母にそれぞれ $1 + \cos x$ と $2\sqrt{1+x}+2+x$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2\sqrt{1+x}-2-x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(2\sqrt{1+x}+2+x)}{(2\sqrt{1+x}-2-x)(2\sqrt{1+x}+2+x)(1 + \cos x)}$

ここで、$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ と $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ を利用します。

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x (2\sqrt{1+x}+2+x)}{(4(1+x)-(2+x)^2)(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x (2\sqrt{1+x}+2+x)}{(4+4x-(4+4x+x^2))(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x (2\sqrt{1+x}+2+x)}{-x^2(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{1+x}+2+x}{-(1 + \cos x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ より $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$ となります。また、

$\lim_{x \to 0} 2\sqrt{1+x}+2+x = 2\sqrt{1+0}+2+0 = 2+2 = 4$

$\lim_{x \to 0} -(1 + \cos x) = -(1 + \cos 0) = -(1 + 1) = -2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{1+x}+2+x}{-(1 + \cos x)} = 1 \cdot \frac{4}{-2} = -2$

3. 最終的な答え

-2