与えられた関数 $y = \cos^2(5x+2)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^2(5x+2)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を利用します。

まず、$u = 5x + 2$ とおくと、$y = \cos^2 u = (\cos u)^2$ となります。

次に、 $v = \cos u$ とおくと、$y = v^2$となります。

まず、$\frac{dy}{dv}$ を求めます。

$\frac{dy}{dv} = 2v$

次に、$\frac{dv}{du}$ を求めます。

$\frac{dv}{du} = -\sin u$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求めます。

$\frac{du}{dx} = 5$

合成関数の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 2v \cdot (-\sin u) \cdot 5$

$\frac{dy}{dx} = 2\cos u \cdot (-\sin u) \cdot 5$

$\frac{dy}{dx} = -10 \cos u \sin u$

三角関数の2倍角の公式より、

$2 \sin u \cos u = \sin(2u)$であるから、

$\frac{dy}{dx} = -5 \sin (2u)$

$u = 5x + 2$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = -5 \sin (2(5x + 2))$

$\frac{dy}{dx} = -5 \sin (10x + 4)$

画像にある解答は以下の手順で計算されています。

$u = 5x+2$とおくと、$y=\cos^2 u$

$y' = -2\sin u \cdot u' = -2\sin(5x+2) \cdot 5 = -10\sin(5x+2)$

しかし、$y=\cos^2 (5x+2)$は$y = (\cos(5x+2))^2$と解釈すべきなので、$y=\cos^2 u$ではなく、$y=u^2$とおいて、$u = \cos(5x+2)$とすべきです。

$y' = 2u \cdot u'$

$u = \cos(5x+2)$だから、$u' = -\sin(5x+2) \cdot 5 = -5\sin(5x+2)$

$y' = 2\cos(5x+2) \cdot (-5\sin(5x+2)) = -10 \cos(5x+2) \sin(5x+2) = -5 \sin(10x+4)$

3. 最終的な答え

$-5 \sin(10x+4)$