了解しました。画像にある極限値を求める問題について、それぞれの解法と答えを説明します。

了解しました。画像にある極限値を求める問題について、それぞれの解法と答えを説明します。

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1. 問題の内容**

与えられた関数の極限値を求める問題です。具体的には、以下の8つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$

(3) $\lim_{x \to -1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$

(5) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$

(7) $\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$

(8) $\lim_{x \to \infty} \log (1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

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2. 解き方の手順**

各問題について、解き方の手順と重要な数式を以下に示します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

* これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用します。

* 分子を微分すると $\frac{1}{1+x^2}$、分母を微分すると $1$ となります。

* したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$

* これも $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用します。

* 分子を微分すると $\cos x - x \sin x$、分母を微分すると $1 - 2\cos 2x$ となります。

* したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x}{1 - 2\cos 2x} = \frac{1 - 0}{1 - 2} = -1$

(3) $\lim_{x \to -1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3}$

* $x = -1$ を代入すると、分子は $-(-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) = 1 + 2 + 1 = 4$、分母は $2(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) + 3 = -2 - 1 + 4 + 3 = 4$ となります。

* したがって、$\lim_{x \to -1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3} = \frac{4}{4} = 1$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$

* これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用します。

* 分子を微分すると $\frac{1}{x}$、分母を微分すると $1$ となります。

* したがって、$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$

(5) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$

* $t = x - \frac{\pi}{2}$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$。$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となり、

$\lim_{t \to 0} \frac{(2(t + \frac{\pi}{2}) - \pi)^2}{\sin(t + \frac{\pi}{2}) - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{(2t)^2}{\cos t - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{4t^2}{\cos t - 1}$

* これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用します。

* 分子を微分すると $8t$、分母を微分すると $-\sin t$ となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{8t}{-\sin t}$。再びロピタルの定理を適用します。

* 分子を微分すると $8$、分母を微分すると $-\cos t$ となります。

* $\lim_{t \to 0} \frac{8}{-\cos t} = \frac{8}{-1} = -8$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$

* $\cos 2x$ をマクローリン展開すると、$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - ... = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...$

* したがって、$2x^2 + \cos 2x - 1 = 2x^2 + (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...) - 1 = \frac{2}{3}x^4 + O(x^6)$

* $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}x^4 + O(x^6)}{x^4} = \frac{2}{3}$

(7) $\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$

* $\lim_{x \to +0} \log x^{2x} = \lim_{x \to +0} 2x \log x$

* これは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、$2\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{1/x}$と変形して、ロピタルの定理を適用します。

* 分子を微分すると $\frac{1}{x}$、分母を微分すると $-\frac{1}{x^2}$ となります。

* したがって、$2\lim_{x \to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = 2\lim_{x \to +0} (-x) = 0$

(8) $\lim_{x \to \infty} \log (1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

* $\lim_{x \to \infty} \log (1 + e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log (1 + e^x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (1 + e^x)}{x}$

* $x$が大きくなると、$e^x$ が $1$ よりはるかに大きくなるため、$1 + e^x \approx e^x$ と近似できます。

* したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log e^x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$

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3. 最終的な答え**

(1) 1

(2) -1

(3) 1

(4) 1

(5) -8

(6) 2/3

(7) 0

(8) 1