$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}} - 1)$を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}} - 1)$を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x = \frac{1}{n}$とおくと、$n \to \infty$のとき、$x \to 0$となる。

したがって、求める極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$となる。

ここで、$e^{2x}$をマクローリン展開すると、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ...$

となる。よって、

$e^{2x} - 1 = 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ...$

$\frac{e^{2x}-1}{x} = 2 + \frac{4x}{2!} + \frac{8x^2}{3!} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = 2$

別の解法として、ロピタルの定理を使うこともできる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$は$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2e^0 = 2$

3. 最終的な答え

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