与えられた積分を計算します。 $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くために、半角の公式 $t = \tan\frac{x}{2}$ を用いた置換積分を行います。

このとき、

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$

となります。

これらの置換を用いると、積分は

$\int \frac{1}{2 + \frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{1}{\frac{2(1+t^2) + 2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int \frac{2}{2t^2+2t+2} dt = \int \frac{1}{t^2+t+1} dt$

ここで分母を平方完成させると、

$t^2 + t + 1 = (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

よって、積分は

$\int \frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{4}{3}\int \frac{1}{\frac{4}{3}(t+\frac{1}{2})^2 + 1} dt = \int \frac{1}{\frac{3}{4}} \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}}t + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 1}dt$

$u = \frac{2}{\sqrt{3}}t + \frac{1}{\sqrt{3}}$ と置くと、 $du = \frac{2}{\sqrt{3}} dt$ より $dt = \frac{\sqrt{3}}{2} du$

$\int \frac{1}{u^2+1} \frac{\sqrt{3}}{2} du = \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan u + C = \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan (\frac{2}{\sqrt{3}}t + \frac{1}{\sqrt{3}}) + C$

$t = \tan \frac{x}{2}$ を代入して、

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arctan (\frac{2}{\sqrt{3}} \tan\frac{x}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}) + C = \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan (\frac{2\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arctan\left(\frac{2\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}}\right) + C$