$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式を使って$\sin x$と$\cos x$を書き換えます。

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$

これらの式を積分に代入します。

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{1 + 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1} dx = \int \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx$

積分を2つに分けます。

$\int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx + \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx$

$\int \sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 \tan \frac{x}{2} + C_1$

$\int \tan \frac{x}{2} dx = \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx$

$u = \cos \frac{x}{2}$とすると、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$より、$dx = -\frac{2}{\sin \frac{x}{2}} du$

$\int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{u} \cdot (-\frac{2}{\sin \frac{x}{2}}) du = -2 \int \frac{1}{u} du = -2 \ln |u| + C_2 = -2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C_2$

よって、

$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} (2 \tan \frac{x}{2}) - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C = \tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$