与えられた積分を計算します。問題は次の積分を求めることです。 $\int \frac{1}{x^2+1} x^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。問題は次の積分を求めることです。

$\int \frac{1}{x^2+1} x^2 dx$

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を計算します。

まず、$f(x) = x$、$g'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ とおきます。

すると、$f'(x) = 1$、$g(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$ となります。

部分積分の公式は、

$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

であるので、

$\int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx = x \left( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right) - \int 1 \left( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right) dx$

$= \frac{1}{2} x \ln(x^2 + 1) - \frac{1}{2} \int \ln(x^2 + 1) dx$

$\int \ln(x^2+1) dx$ を計算する必要があります。

$u = \ln(x^2+1), dv = dx$ とおく。

$du = \frac{2x}{x^2+1} dx, v = x$

$\int \ln(x^2+1) dx = x\ln(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} dx$

$\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = \int \frac{2(x^2+1)-2}{x^2+1} dx = \int 2 - \frac{2}{x^2+1} dx = 2x - 2\arctan(x) + C$

$\int \ln(x^2+1) dx = x\ln(x^2+1) - 2x + 2\arctan(x) + C$

$\int \frac{x^2}{x^2+1} dx = \frac{1}{2}x\ln(x^2+1) - \frac{1}{2}(x\ln(x^2+1) - 2x + 2\arctan(x))$

$= x - \arctan(x) + C$

別解:

被積分関数を変形する

$\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}$

よって

$\int \frac{x^2}{x^2+1} dx = \int (1 - \frac{1}{x^2+1}) dx = x - \arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$x - \arctan(x) + C$