与えられた積分 $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

半角の公式を使って積分を計算します。

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$

これらを積分に代入すると、

$\int \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{1 + 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1} dx = \int \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx$

$= \int \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx = \int \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx$

$\int \sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 \tan \frac{x}{2} + C_1$

$\int \tan \frac{x}{2} dx = \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx$

$u = \cos \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} dx$, つまり $\sin \frac{x}{2} dx = -2 du$.

$\int \tan \frac{x}{2} dx = \int \frac{-2}{u} du = -2 \ln |u| + C_2 = -2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C_2$

したがって、

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C = \tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$.

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C$