$a>0$ かつ $a \neq 1$、かつ $m > n > 0$ とするとき、$a^m + \frac{1}{a^m}$ と $a^n + \frac{1}{a^n}$ の大小を比較し、選択肢から正しいものを選びなさい。

1. 問題の内容

$a>0$ かつ $a \neq 1$、かつ $m > n > 0$ とするとき、$a^m + \frac{1}{a^m}$ と $a^n + \frac{1}{a^n}$ の大小を比較し、選択肢から正しいものを選びなさい。

2. 解き方の手順

$f(x) = a^x + \frac{1}{a^x}$ と定義します。

$m > n > 0$ であるので、$f(x)$ が単調増加か単調減少かを調べることが重要です。

$f(m)$ と $f(n)$ を比較し、大小関係を決定します。

まず、$f(x) = a^x + a^{-x}$ の導関数を求めます。

$f'(x) = (\ln a)a^x - (\ln a)a^{-x} = (\ln a)(a^x - a^{-x})$

$f'(x) = (\ln a)(a^x - \frac{1}{a^x})$

ここで、$a > 0$ かつ $a \neq 1$ という条件を考慮します。

(i) $a > 1$ の場合:

$\ln a > 0$ であり、$x > 0$ であれば $a^x > 1$ かつ $a^{-x} < 1$ となるため、$a^x > a^{-x}$。したがって、$f'(x) > 0$ となり、$f(x)$ は単調増加です。

$m > n > 0$ より、$f(m) > f(n)$ となります。

つまり、$a^m + \frac{1}{a^m} > a^n + \frac{1}{a^n}$

(ii) $0 < a < 1$ の場合:

$\ln a < 0$ であり、$x > 0$ であれば $a^x < 1$ かつ $a^{-x} > 1$ となるため、$a^x < a^{-x}$。したがって、$f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ は単調減少です。

$m > n > 0$ より、$f(m) < f(n)$ となります。

つまり、$a^m + \frac{1}{a^m} < a^n + \frac{1}{a^n}$

選択肢を確認します。問題文の画像の選択肢は以下の通りです。

1. $a^m + \frac{1}{a^m} \geq a^n + \frac{1}{a^n}$

2. $a^m + \frac{1}{a^m} > a^n + \frac{1}{a^n}$

3. $a^m + \frac{1}{a^m} \leq a^n + \frac{1}{a^n}$

4. $a^m + \frac{1}{a^m} < a^n + \frac{1}{a^n}$

5. $a^m + \frac{1}{a^m} = a^n + \frac{1}{a^n}$

$a>1$のとき選択肢2が、$0<a<1$のとき選択肢4が適切です。

問題文にどちらの場合も考慮するような指示がないため、どちらか一方を選択する必要があります。

問題文には特に指示がないので、$a > 1$と仮定して選択肢2を選択します。

3. 最終的な答え

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