$a$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C: y = x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2$ を考える。 (1) $a$ がどのような値をとっても $C$ は2つの定点を通る。その2点の座標を求めよ。 (2) (1) で求めた2点のうち、$x$ 座標の小さい方を点 A、もう一方を点 B とし、その2点を通る直線を $l$ とする。$C$ と $l$ が異なる3点で交わり、その交点がすべて線分 AB 上にあるような $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) $a$ が (2) で求めた範囲を動くとき、$C$ と (2) で定めた $l$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ の最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$a$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C: y = x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2$ を考える。

(1) $a$ がどのような値をとっても $C$ は2つの定点を通る。その2点の座標を求めよ。

(2) (1) で求めた2点のうち、$x$ 座標の小さい方を点 A、もう一方を点 B とし、その2点を通る直線を $l$ とする。$C$ と $l$ が異なる3点で交わり、その交点がすべて線分 AB 上にあるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $a$ が (2) で求めた範囲を動くとき、$C$ と (2) で定めた $l$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値に関わらず曲線 $C$ が通る定点を求める。

$y = x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2 = x^3 + 2x^2 + 2 + a(x^2 + 2x)$

$a$ について整理すると、

$y = x^3 + 2x^2 + 2 + a(x^2 + 2x)$

これが任意の $a$ について成り立つためには、

$x^2 + 2x = 0$ かつ $y = x^3 + 2x^2 + 2$ である必要がある。

$x^2 + 2x = x(x+2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = -2$

$x = 0$ のとき、$y = 0^3 + 2(0)^2 + 2 = 2$

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 + 2(-2)^2 + 2 = -8 + 8 + 2 = 2$

したがって、曲線 $C$ は $a$ の値に関わらず、点 $(0, 2)$ と $(-2, 2)$ を通る。

(2) (1)で求めた定点A, Bはそれぞれ $A(-2, 2), B(0, 2)$となる。

直線 $l$ は2点 $A(-2, 2), B(0, 2)$ を通るので、 $y=2$。

$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2 = 2$

$x^3 + (a+2)x^2 + 2ax = 0$

$x(x^2 + (a+2)x + 2a) = 0$

$x(x+2)(x+a) = 0$

$x = 0, -2, -a$

$C$ と $l$ が異なる3点で交わるので、$a \neq 0, 2$。

交点は $(0, 2), (-2, 2), (-a, 2)$

これらの交点が線分 $AB$ 上にある条件は、$-2 \leq -a \leq 0$

よって、$0 \leq a \leq 2$

$a \neq 0, 2$ より、$0 < a < 2$。

(3) $S(a)$ を求める。$S(a) = \int_{-a}^{-2} (2 - (x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2)) dx + \int_{-2}^0 (2 - (x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2))dx$

$S(a) = \int_{-a}^{-2} (-x^3 - (a+2)x^2 - 2ax) dx + \int_{-2}^0 (-x^3 - (a+2)x^2 - 2ax)dx$

$S(a) = \int_{-a}^{0} (-x^3 - (a+2)x^2 - 2ax)dx$

$S(a) = [-\frac{1}{4}x^4 - \frac{a+2}{3}x^3 - ax^2]_{-a}^{0} = 0 - (-\frac{1}{4}a^4 + \frac{a+2}{3}a^3 - a^3) = \frac{1}{4}a^4 - \frac{a^4}{3} - \frac{2a^3}{3} + a^3$

$S(a) = \frac{3a^4 - 4a^4}{12} + \frac{3a^3 - 2a^3}{3} = -\frac{a^4}{12} + \frac{a^3}{3} = \frac{-a^4 + 4a^3}{12} = \frac{a^3(4-a)}{12}$

$S'(a) = \frac{3a^2(4-a) - a^3}{12} = \frac{12a^2 - 3a^3 - a^3}{12} = \frac{12a^2 - 4a^3}{12} = \frac{4a^2(3-a)}{12} = \frac{a^2(3-a)}{3}$

$S'(a) = 0$ となるのは、$a=0, 3$

$0 < a < 2$ において、$S'(a) > 0$ なので、S(a) は単調増加する。

したがって、S(a) は $a \rightarrow 0$ に近づくほど小さくなるが、a=0 は範囲に含まれないので、最小値は存在しない。

ただし、$a=2$ では $S(2) = \frac{2^3(4-2)}{12} = \frac{8 \cdot 2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) (0, 2), (-2, 2)

(2) $0 < a < 2$

(3) 最小値は存在しない。ただし $a$ が $0 < a < 2$ の範囲で $2$ に限りなく近いとき、$S(a)$ は $4/3$ に限りなく近づく。