不等式 $\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$ から、$-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ が成り立つ理由を問う問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$ から、$-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ が成り立つ理由を問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$ の不等式を解きます。

各辺から $\frac{\pi}{4}$ を引くと、

$0 \le 2x \le 2\pi$

次に、各辺を 2 で割ると、

$0 \le x \le \pi$

ここで、$2x+\frac{\pi}{4}$ の範囲を求めます。

$0 \le x \le \pi$ の各辺に2を掛けると、$0 \le 2x \le 2\pi$

さらに、各辺に$\frac{\pi}{4}$を加えると、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$

$\sin$ 関数の性質を考えます。任意の実数 $\theta$ に対して、

$-1 \le \sin(\theta) \le 1$

が成り立ちます。

したがって、$2x + \frac{\pi}{4}$ も任意の実数なので、

$-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$ が与えられているとき、$\sin(2x + \frac{\pi}{4})$ の値は常に -1 以上 1 以下になるため、$-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ が成り立ちます。これは、正弦関数 $\sin(\theta)$ の取り得る値の範囲が $-1 \le \sin(\theta) \le 1$ であることによります。