問題は、 $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の2つの三角方程式を解くことです。 (1) $\sin 2\theta + \sin \theta = 0$ (2) $\cos 2\theta - \sin \theta = 1$

1. 問題の内容

問題は、 $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の2つの三角方程式を解くことです。

(1) $\sin 2\theta + \sin \theta = 0$

(2) $\cos 2\theta - \sin \theta = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2\theta + \sin \theta = 0$

* 2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いる。

$2 \sin \theta \cos \theta + \sin \theta = 0$

* $\sin \theta$ でくくる。

$\sin \theta (2 \cos \theta + 1) = 0$

* $\sin \theta = 0$ または $2 \cos \theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ を求める。

* $\sin \theta = 0$ より、$\theta = 0, \pi$

* $2 \cos \theta + 1 = 0$ より、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.

$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

(2) $\cos 2\theta - \sin \theta = 1$

* 2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いる。

$1 - 2\sin^2 \theta - \sin \theta = 1$

* 整理する。

$2\sin^2 \theta + \sin \theta = 0$

* $\sin \theta$ でくくる。

$\sin \theta (2\sin \theta + 1) = 0$

* $\sin \theta = 0$ または $2 \sin \theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ を求める。

* $\sin \theta = 0$ より、$\theta = 0, \pi$

* $2 \sin \theta + 1 = 0$ より、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$.

$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

(2) $\theta = 0, \pi, \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$