与えられた積分の計算問題を解きます。積分は以下の通りです。 $\int \frac{e^x + 1}{e^{2x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の計算問題を解きます。積分は以下の通りです。

$\int \frac{e^x + 1}{e^{2x}} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を2つの項に分解します。

$\int \frac{e^x + 1}{e^{2x}} dx = \int \frac{e^x}{e^{2x}} dx + \int \frac{1}{e^{2x}} dx$

次に、各項を簡略化します。

$\int \frac{e^x}{e^{2x}} dx = \int e^{-x} dx$

$\int \frac{1}{e^{2x}} dx = \int e^{-2x} dx$

したがって、積分は次のようになります。

$\int e^{-x} dx + \int e^{-2x} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C_1$

$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C_2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$-e^{-x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-e^{-x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$