$n$ を2以上の自然数とする。 $S_n = \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{k \log k}$ とおく。 (1) $\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x}$ を求めよ。 (2) $k$ を2以上の自然数とするとき、$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k}$ を示せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を2以上の自然数とする。

$S_n = \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{k \log k}$ とおく。

(1) $\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x}$ を求めよ。

(2) $k$ を2以上の自然数とするとき、$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k}$ を示せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x}$ を求める。

$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となる。

積分範囲は、$x=n$ のとき $u = \log n$、$x=n^3$ のとき $u = \log n^3 = 3 \log n$ となる。

よって、

$$\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x} = \int_{\log n}^{3 \log n} \frac{du}{u} = [\log u]_{\log n}^{3 \log n} = \log (3 \log n) - \log (\log n) = \log \frac{3 \log n}{\log n} = \log 3$$

(2) $k$ を2以上の自然数とするとき、$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k}$ を示す。

関数 $f(x) = \frac{1}{x \log x}$ は、$x \geq 2$ で単調減少である。

したがって、$k \leq x \leq k+1$ のとき、$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} \leq \frac{1}{x \log x} \leq \frac{1}{k \log k}$ が成り立つ。

よって、

$$\int_k^{k+1} \frac{1}{(k+1) \log (k+1)} dx < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \int_k^{k+1} \frac{1}{k \log k} dx$$

$$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} \int_k^{k+1} dx < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k} \int_k^{k+1} dx$$

$$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} (k+1 - k) < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k} (k+1 - k)$$

$$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k}$$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

(2)より、

$$\sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \sum_{k=n}^{n^3-1} \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{k \log k}$$

$$\sum_{k=n}^{n^3-1} \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} = \int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x} = \log 3$$

したがって、

$$\sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \log 3 < \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{k \log k} = S_n$$

$S_n = \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{k \log k} = \sum_{k=n}^{n^3-1} f(k)$

$\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x} = \log 3$ より、$S_n \approx \log 3$

より正確には、

$$\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x} = \log (\log n^3) - \log (\log n) = \log (3 \log n) - \log (\log n) = \log 3$$

$n \to \infty$ のとき、

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{k \log k} = \lim_{n \to \infty} S_n = \log 3$$

3. 最終的な答え

(1) $\log 3$

(2) $\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k}$

(3) $\log 3$