問題は、三角関数の不等式 $-\sqrt{2} + 2 \le -\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4}) + 2 \le \sqrt{2} + 2$ が与えられたとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ となる理由を問うています。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の不等式 $-\sqrt{2} + 2 \le -\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4}) + 2 \le \sqrt{2} + 2$ が与えられたとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ となる理由を問うています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を簡略化します。全ての項から2を引くと、次のようになります。

$-\sqrt{2} \le -\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

次に、不等式全体を $-\sqrt{2}$ で割ります。負の数で割るので、不等号の向きが変わります。

$1 \ge \sin(2x+\frac{\pi}{4}) \ge -1$

これは、$-1 \le \sin(2x+\frac{\pi}{4}) \le 1$ と同じです。

$\sin$ 関数の最大値は1なので、$\sin(2x+\frac{\pi}{4}) = 1$ のとき、 $-\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})$ は最小値 $-\sqrt{2}$ をとります。$\sin(2x+\frac{\pi}{4}) = 1$ のとき、与えられた不等式の左側の等号が成立します。

同様に$\sin$ 関数の最小値は-1なので、$\sin(2x+\frac{\pi}{4}) = -1$ のとき、 $-\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})$ は最大値 $\sqrt{2}$ をとります。$\sin(2x+\frac{\pi}{4}) = -1$ のとき、与えられた不等式の右側の等号が成立します。

$\sin \theta = 1$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$ は整数）のときです。

$\sin \theta = -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$ は整数）のときです。

したがって、$\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$ となるのは $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式の右側の等号が成立するのは、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ のときです。

これが、問題に書かれている $2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}$ となる理由です。