放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と、直線 $x = 4$ 、およびx軸で囲まれた影のついた三角形（実際には三角形ではなく、放物線と直線で囲まれた図形）の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と、直線 $x = 4$ 、およびx軸で囲まれた影のついた三角形（実際には三角形ではなく、放物線と直線で囲まれた図形）の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

求めたい面積は、直線 $x=4$ とx軸、y軸で囲まれた長方形の面積から、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ とx軸、直線 $x=4$ で囲まれた部分の面積を引くことで求めることができます。

まず、点Aの座標を求めます。点Aは放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $x = 4$ の交点なので、放物線の式に $x = 4$ を代入します。

$y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

したがって、点Aの座標は (4, 8) です。

次に、長方形の面積を計算します。長方形の底辺の長さは4、高さは8なので、面積は

$4 \times 8 = 32$

です。

次に、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ とx軸、直線 $x=4$ で囲まれた部分の面積を計算します。これは定積分で求められます。

$S = \int_{0}^{4} \frac{1}{2}x^2 dx$

積分を計算します。

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}(4)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 \right) = \frac{1}{2} \times \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$

最後に、求める影のついた部分の面積は、長方形の面積から放物線とx軸で囲まれた部分の面積を引いたものです。

$32 - \frac{32}{3} = \frac{96}{3} - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{3}$