与えられた不定積分 $\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x+4}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分

$\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x+4}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = 3x^2 + x + 4$ と置換します。

すると、$du = (6x+1) dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int u^{-1/2} du$

この積分は簡単に計算できます。

$\int u^{-1/2} du = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$

ここで、$u = 3x^2 + x + 4$ を代入すると、次のようになります。

$2\sqrt{3x^2+x+4} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは

$2\sqrt{3x^2+x+4} + C$

となります。