次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{1-x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{1-x}$

2. 解き方の手順

まず、$y = x - 1$ と置換します。すると、$x = y + 1$ となり、$x \to 1$ のとき $y \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{1-x} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin \pi (y+1)}{1-(y+1)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin (\pi y + \pi)}{-y}$

ここで、$\sin(\pi y + \pi) = -\sin(\pi y)$ であることを利用します。

$\lim_{y \to 0} \frac{-\sin (\pi y)}{-y} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin (\pi y)}{y}$

さらに、$\pi y = z$ と置換すると、$y = \frac{z}{\pi}$ となり、$y \to 0$ のとき $z \to 0$ となります。

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin (\pi y)}{y} = \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{\frac{z}{\pi}} = \lim_{z \to 0} \frac{\pi \sin z}{z} = \pi \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z}$

$\lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1$ であるので、

$\pi \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = \pi \cdot 1 = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$