$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するために、すべて同じ指数を持つ累乗根の形に変換します。

まず、すべての数を3の累乗として表現します。

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}}$

次に、指数 $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ の最小公倍数を求めます。2, 3, 4 の最小公倍数は12なので、指数を12分の〜の形に変換します。

$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

したがって、

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = (3^6)^{\frac{1}{12}}$

$\sqrt[3]{9} = 3^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{12}} = (3^8)^{\frac{1}{12}}$

$\sqrt[4]{27} = 3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{12}} = (3^9)^{\frac{1}{12}}$

$3^6 = 729$

$3^8 = 6561$

$3^9 = 19683$

よって、$(3^6)^{\frac{1}{12}} < (3^8)^{\frac{1}{12}} < (3^9)^{\frac{1}{12}}$ となるので、

$\sqrt{3} < \sqrt[3]{9} < \sqrt[4]{27}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}, \sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{27}$