与えられた数式 $\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ を計算し、できる限り簡単にします。つまり、分母に根号がない形に変形します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ を計算し、できる限り簡単にします。つまり、分母に根号がない形に変形します。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。分母が $2\sqrt{2}-\sqrt{5}$ なので、これに $2\sqrt{2}+\sqrt{5}$ をかけたものが実数になることを利用します。分子と分母に同じ数を掛けることで、分数の値は変わりません。

つまり、以下の計算を行います。

$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2}+2\sqrt{5})(2\sqrt{2}+\sqrt{5})}{(2\sqrt{2}-\sqrt{5})(2\sqrt{2}+\sqrt{5})}$

まず、分子を計算します。

$(\sqrt{2}+2\sqrt{5})(2\sqrt{2}+\sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 4 + \sqrt{10} + 4\sqrt{10} + 10 = 14 + 5\sqrt{10}$

次に、分母を計算します。

$(2\sqrt{2}-\sqrt{5})(2\sqrt{2}+\sqrt{5}) = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 2 - 5 = 8 - 5 = 3$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}} = \frac{14+5\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14+5\sqrt{10}}{3}$