長方形 $ABCD$ を線分 $EF$ で折り返した図が与えられています。$AD = 8$, $AB = 12$, $AG = GD$ のとき、以下の問いに答えます。 (1) $FG$ の長さを求めます。 (2) $AI$ の長さを求めます。

1. 問題の内容

長方形 $ABCD$ を線分 $EF$ で折り返した図が与えられています。$AD = 8$, $AB = 12$, $AG = GD$ のとき、以下の問いに答えます。

(1) $FG$ の長さを求めます。

(2) $AI$ の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$AG = GD$ より、$AG = GD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ です。

折り返した図なので、$FG = DF$ です。

三角形 $ADF$ において、$AD^2 + DF^2 = AF^2$ を考えます。

$DF = x$ とすると、$AF = 8 - x$ なので、$4^2 + x^2 = (8-x)^2$

$16 + x^2 = 64 - 16x + x^2$

$16x = 48$

$x = 3$

したがって、$DF = FG = 3$ です。

(2)

$\angle GFE = \angle DFE$ です。また $\angle DFE = \angle EFC$（平行線の錯角）です。

よって $\angle GFE = \angle EFC$ となります。

また $AH = AG = 4$ であり、$AE = AB = 12$ です。

$AI = x$ とします。三角形 $AIE$ と三角形 $AHF$ は相似ではありません。

$BE=BF$ に注意すると、$BF = BC - FC = AD - FC = 8 - FC$ であり、$BE = AB - AE = 12 - AH = 12-4 = 8$ です。

$BE=BF$ とすると、$BE = BF = 12 - AE$ であり、$EH = \sqrt{BE^2 + BH^2} = \sqrt{BE^2 + (AB - AE)^2}$ となります。

また、$AI = y$とします。

$\angle AIE = 90^{\circ}$であるため、三平方の定理より

$AI^2 + IE^2 = AE^2$

$AI^2 + IH^2 = AH^2$

$IE^2=AE^2-AI^2 = 12^2 - y^2$

$AH^2=AI^2+IH^2 = 4^2$

$IE^2 = AH^2 = AE^2$

$AE = AH = 4$

$\triangle AEG$の面積を考えると、底辺を$AE$, 高さを$AG$として、$\frac{1}{2} 4 x$

一方、底辺を$AG$,高さを$AI$として、$\frac{1}{2} AG \times y = \frac{1}{2} \times 4 \times AI$

また $\frac{1}{2} AI \times GE$

$AD = 8, AB=12$　長方形なので、$CD = AB = 12$, $BC = AD = 8$

ここで、$GD=AG=4$ なので、 $GC = CD - GD = 12 - 4 = 8$

三平方の定理より、$GE = \sqrt{GA^2+AE^2}=\sqrt{4^2+12^2} = \sqrt{16+144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$

ここで、$\triangle AGE$ の面積を２つの方法で表します。

一つは、$\frac{1}{2} AG \times AE= \frac{1}{2} \times 4 \times 12 = 24$

もう一つは、 $\frac{1}{2} GE \times AI = \frac{1}{2} 4\sqrt{10} \times AI = 2\sqrt{10} AI$

よって、$24 = 2\sqrt{10} AI$ より、 $AI = \frac{24}{2\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{12\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $FG = 3$

(2) $AI = \frac{6\sqrt{10}}{5}$