与えられた6つの図形の面積をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた6つの図形の面積をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

**(1)**

三角形の内角の和は180°なので、残りの角は $180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$ です。正弦定理を用いて、残りの辺の長さを求めます。$a/\sin A = b/\sin B$ の関係を利用します。

$x/\sin 30^\circ = 6/\sin 45^\circ$

$x = 6 \times \sin 30^\circ / \sin 45^\circ = 6 \times (1/2) / (1/\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}$

三角形の面積は $\frac{1}{2}ab\sin C$ を用いて計算できます。

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{2} \times \sin 105^\circ = 9\sqrt{2} \times \sin(60^\circ + 45^\circ) = 9\sqrt{2} (\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ) = 9\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}) = 9(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{9}{2}(\sqrt{3}+1)$

**(2)**

三角形の内角の和は180°なので、残りの角は $180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$ です。正弦定理を用いて、残りの辺の長さを求めます。

$x/\sin 75^\circ = 10/\sin 45^\circ$

$x = 10 \times \sin 75^\circ / \sin 45^\circ = 10 \times (\sin(45^\circ + 30^\circ)) / (1/\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \times (\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ) = 10\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}) = 10(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = 5(\sqrt{3}+1)$

三角形の面積は $\frac{1}{2}ab\sin C$ を用いて計算できます。

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 5(\sqrt{3}+1) \times \sin 60^\circ = 25(\sqrt{3}+1)\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25}{2}(3+\sqrt{3})$

**(3)**

三角形の内角の和は180°なので、残りの角は $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$,もう一つの角も $22.5^\circ$です。

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いて計算できます。

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \times \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \times 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$

**(4)**

等脚台形なので、高さをhとすると、底辺は $12 = 2x+8$となり、$x = 2$です。

三平方の定理より $h = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64-4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

面積は $(8+12)/2 \times 2\sqrt{15} = 20\sqrt{15}$

**(5)**

正三角形なので、高さをhとすると、$h = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$

面積は $1/2 \times 2 \times 2 = 2$

**(6)**

等脚台形なので、高さをhとすると、底辺は $9 = 2x+3$となり、$x = 3$です。

三平方の定理より $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$

面積は $(3+9)/2 \times 4 = 6 \times 4 = 24$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}(\sqrt{3}+1)$

(2) $\frac{25}{2}(3+\sqrt{3})$

(3) $10\sqrt{2}$

(4) $20\sqrt{15}$

(5) $2$

(6) $24$