与えられた行列 $P = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ と、Pの固有ベクトルからなる行列 $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解きます。 (1) 行列 $S$ の逆行列 $S^{-1}$ を求めます。 (2) $Q = S^{-1}PS$ を計算し、$Q$ が対角行列 $Q = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ (ただし、$a, b$ は実数) の形になることを確認します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $P = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ と、Pの固有ベクトルからなる行列 $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解きます。

(1) 行列 $S$ の逆行列 $S^{-1}$ を求めます。

(2) $Q = S^{-1}PS$ を計算し、$Q$ が対角行列 $Q = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ (ただし、$a, b$ は実数) の形になることを確認します。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $S$ の逆行列 $S^{-1}$ を求める手順は以下の通りです。

まず、$S$ の行列式 $|S|$ を計算します。

$|S| = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2$

次に、$S$ の余因子行列を求めます。

$S_{11} = -1$

$S_{12} = -1$

$S_{21} = -1$

$S_{22} = 1$

余因子行列を並べて $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ とします。

この転置行列を計算します。$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

最後に、$S^{-1} = \frac{1}{|S|} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ を計算します。

$S^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(2) $Q = S^{-1}PS$ を計算します。

$Q = S^{-1}PS = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

まず、$PS$ を計算します。

$PS = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + 1(1) & 3(1) + 1(-1) \\ 1(1) + 3(1) & 1(1) + 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$

次に、$S^{-1}(PS) = S^{-1}PS$ を計算します。

$S^{-1}PS = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(4) + \frac{1}{2}(4) & \frac{1}{2}(2) + \frac{1}{2}(-2) \\ \frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2}(4) & \frac{1}{2}(2) - \frac{1}{2}(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$Q = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ となり、これは対角行列の形をしています。

3. 最終的な答え

(1) $S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(2) $Q = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ であり、対角行列の形になっていることが確認できました。