関数 $f(x) = 4^{x+1} - 2^{x+3} + 3$ について、以下の問いに答える問題です。ただし、$2^x = t$ とおきます。 (1) $f(x)$ を $t$ を用いて表す。 (2) 方程式 $f(x) = 0$ を満たす $x$ の値を求める。 (3) $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^{x+1} - 2^{x+3} + 3$ について、以下の問いに答える問題です。ただし、$2^x = t$ とおきます。

(1) $f(x)$ を $t$ を用いて表す。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ を満たす $x$ の値を求める。

(3) $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 4^{x+1} - 2^{x+3} + 3$ において、$2^x = t$ とおくと、

$4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^x)^2 = 4t^2$

$2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8t$

したがって、

$f(x) = 4t^2 - 8t + 3$

(2) $f(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

$(2t - 1)(2t - 3) = 0$

$t = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ より、$x = -1$

$2^x = \frac{3}{2}$ より、$x = \log_2{\frac{3}{2}} = \log_2{3} - \log_2{2} = \log_2{3} - 1$

(3) $f(x) = 4t^2 - 8t + 3$ の最小値を求める。

$f(x) = 4(t^2 - 2t) + 3 = 4(t^2 - 2t + 1 - 1) + 3 = 4(t - 1)^2 - 4 + 3 = 4(t - 1)^2 - 1$

$t = 1$ のとき、最小値 $-1$ をとる。

$2^x = 1 = 2^0$ より、$x = 0$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 8

ウエ: -1

オ: 3

カ: 0

キク: -1