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数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 7$ と初期条件 $a_1 = 1$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めます。

代数学数列漸化式等比数列一般項
2025/8/1

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} が与えられた漸化式 an+1=2an+7a_{n+1} = 2a_n + 7 と初期条件 a1=1a_1 = 1 を満たすとき、一般項 ana_n を求めます。

2. 解き方の手順

漸化式 an+1=2an+7a_{n+1} = 2a_n + 7 を変形して等比数列の形に持ち込みます。
特性方程式 x=2x+7x = 2x + 7 を解くと、x=−7x = -7 です。
したがって、漸化式を次のように変形します。
an+1+7=2(an+7)a_{n+1} + 7 = 2(a_n + 7)
ここで、bn=an+7b_n = a_n + 7 とおくと、bn+1=2bnb_{n+1} = 2b_n となり、数列 {bn}\{b_n\} は公比が 2 の等比数列であることがわかります。
初項は b1=a1+7=1+7=8b_1 = a_1 + 7 = 1 + 7 = 8 です。
したがって、bn=8⋅2n−1=23⋅2n−1=2n+2b_n = 8 \cdot 2^{n-1} = 2^3 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+2} となります。
an=bn−7a_n = b_n - 7 であるから、an=2n+2−7a_n = 2^{n+2} - 7 となります。

3. 最終的な答え

an=2n+2−7a_n = 2^{n+2} - 7

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