与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x-2)(x+1)(x+2)(x+5)$ (2) $(x+8)(x+7)$ (3) $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ (4) $(x+y+1)(x^2-xy+y^2-x-y+1)$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x-2)(x+1)(x+2)(x+5)$

(2) $(x+8)(x+7)$

(3) $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$

(4) $(x+y+1)(x^2-xy+y^2-x-y+1)$

2. 解き方の手順

(1) まず、$(x-2)(x+5)$と$(x+1)(x+2)$をそれぞれ展開します。

$(x-2)(x+5) = x^2 + 3x - 10$

$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$

次に、得られた式を掛け合わせます。$A = x^2 + 3x$とおくと、

$(A - 10)(A + 2) = A^2 - 8A - 20$

$A$をもとに戻すと、

$(x^2 + 3x)^2 - 8(x^2 + 3x) - 20 = x^4 + 6x^3 + 9x^2 - 8x^2 - 24x - 20 = x^4 + 6x^3 + x^2 - 24x - 20$

(2) $(x+8)(x+7)$を展開します。

$x^2 + (8+7)x + 8 \times 7 = x^2 + 15x + 56$

(3) $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$を計算します。

まず、$(x+y+z)(-x+y+z)$を変形します。これは $((y+z)+x)((y+z)-x) = (y+z)^2 - x^2 = y^2 + 2yz + z^2 - x^2$となります。

次に、$(x-y+z)(x+y-z)$を変形します。これは $(x-(y-z))(x+(y-z)) = x^2 - (y-z)^2 = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$となります。

これらを掛け合わせると、$(y^2 + 2yz + z^2 - x^2)(x^2 - y^2 + 2yz - z^2) = (2yz + y^2 + z^2 - x^2)(2yz - (y^2 + z^2 - x^2)) = (2yz)^2 - (y^2+z^2-x^2)^2 = 4y^2z^2 - (y^4 + z^4 + x^4 + 2y^2z^2 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2) = -x^4 - y^4 - z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 = 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - x^4 - y^4 - z^4$となります。

(4) $(x+y+1)(x^2-xy+y^2-x-y+1)$を展開します。

この式は、$(x+y+1)((x+y+1)^2-3xy-3(x+y)-2)+3xy(x+y)$　である

ここで、展開すると、

$x^3+y^3+1-3xy+2x+2y+x^2+y^2-x+x+1=x^3+y^3+1^3-3xy$

これは、$x^3+y^3+1-3xy = (x+y+1)(x^2+y^2+1 - xy -x -y)$.

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 6x^3 + x^2 - 24x - 20$

(2) $x^2 + 15x + 56$

(3) $-x^4 - y^4 - z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2$

(4) $x^3+y^3+1-3xy$