問題は以下の通りです。 比例 $y = \frac{3}{2}x$ のグラフと反比例 $y = \frac{a}{x}$ (ただし $a < 0$) のグラフがある。 比例のグラフ上に $x$ 座標が4である点Aがある。 反比例のグラフ上に点Bがある。 点Aと点Bを結ぶ。 比例のグラフ上に、点Bと $y$ 座標が等しい点Cがある。 点Bと点Cを結ぶ。 (1) 点Aの $y$ 座標を求めよ。 (2) 線分ABと $x$ 軸との交点をDとする。$AD = BC$ となるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

比例 $y = \frac{3}{2}x$ のグラフと反比例 $y = \frac{a}{x}$ (ただし $a < 0$) のグラフがある。

比例のグラフ上に $x$ 座標が4である点Aがある。

反比例のグラフ上に点Bがある。

点Aと点Bを結ぶ。

比例のグラフ上に、点Bと $y$ 座標が等しい点Cがある。

点Bと点Cを結ぶ。

(1) 点Aの $y$ 座標を求めよ。

(2) 線分ABと $x$ 軸との交点をDとする。$AD = BC$ となるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは $y = \frac{3}{2}x$ のグラフ上にあり、$x$ 座標は4である。

したがって、点Aの $y$ 座標は

$y = \frac{3}{2} \times 4 = 6$

(2) 点Bの $x$ 座標を $t$ とする。

点Bは反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフ上にあるので、$y = \frac{a}{t}$

点Bは比例 $y = \frac{3}{2}x$ のグラフ上にあるので、$\frac{a}{t} = \frac{3}{2}t$。

したがって、 $a = \frac{3}{2}t^2$。

点Cの $y$ 座標は点Bの $y$ 座標と同じなので、$\frac{a}{t}$

点Cは比例 $y = \frac{3}{2}x$ のグラフ上にあるので、$\frac{a}{t} = \frac{3}{2}x$。

したがって、点Cの $x$ 座標は $x = \frac{2}{3} \times \frac{a}{t} = \frac{2a}{3t}$

$BC = t - \frac{2a}{3t}$

点A(4, 6), 点B(t, $\frac{a}{t}$)

直線ABの式を $y = mx + n$ とおくと、

$6 = 4m + n$

$\frac{a}{t} = tm + n$

$n = 6 - 4m$

$\frac{a}{t} = tm + 6 - 4m$

$AD = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2}$

ABの式は $y - 6 = \frac{6 - \frac{a}{t}}{4 - t} (x - 4)$

y = 0 の時 $x = x_D$ である。

$-6 = \frac{6 - \frac{a}{t}}{4 - t} (x_D - 4)$

$x_D = 4 - \frac{6(4 - t)}{6 - \frac{a}{t}} = 4 - \frac{6(4 - t)t}{6t - a}$

$AD = \sqrt{(4 - x_D)^2 + 6^2} = \sqrt{(\frac{6(4 - t)t}{6t - a})^2 + 36}$

$BC = t - \frac{2a}{3t} = \frac{3t^2 - 2a}{3t}$

$AD = BC$

$\sqrt{(\frac{6(4 - t)t}{6t - a})^2 + 36} = \frac{3t^2 - 2a}{3t}$

両辺を2乗して

$(\frac{6(4 - t)t}{6t - a})^2 + 36 = (\frac{3t^2 - 2a}{3t})^2$

$a = \frac{3}{2}t^2$を代入して

$(\frac{6(4 - t)t}{6t - \frac{3}{2}t^2})^2 + 36 = (\frac{3t^2 - 3t^2}{3t})^2 = 0$

$(\frac{6(4 - t)t}{t(6 - \frac{3}{2}t)})^2 + 36 = 0$

$\frac{36(4 - t)^2}{(6 - \frac{3}{2}t)^2} + 36 = 0$

$\frac{36(4 - t)^2}{\frac{9}{4}(4 - t)^2} = -36$

これはありえない。

したがって、AD = BC より

$\sqrt{(4 - x_D)^2 + (6 - 0)^2} = \frac{3t^2 - 2a}{3t}$

$y = \frac{3}{2}x$にBのx座標tを代入するとB(t, $\frac{3}{2}t$)

$y = \frac{a}{x}$なので、$\frac{3}{2}t = \frac{a}{t}$ よって$a = \frac{3}{2}t^2$

点CはBとy座標が同じなのでC($\frac{2a}{3t}$, $\frac{3}{2}t$)

BC = $t - \frac{2a}{3t}$

$y = \frac{3}{2}x$にAのx座標4を代入するとA(4, 6)

AD = $\sqrt{(4 - x_D)^2 + 6^2}$

直線ABの式は傾きは$\frac{6 - \frac{3}{2}t}{4 - t}$なので

$y = \frac{6 - \frac{3}{2}t}{4 - t} x + n$

点(4, 6)を通るので、$6 = \frac{6 - \frac{3}{2}t}{4 - t} * 4 + n$

$n = 6 - 4 * \frac{6 - \frac{3}{2}t}{4 - t} = \frac{24 - 6t - 24 + 6t}{4 - t} = 0$

したがって、ABの式は$y = \frac{6 - \frac{3}{2}t}{4 - t} x$

x軸上の交点Dは、0 = $\frac{6 - \frac{3}{2}t}{4 - t} x$ よってx=0 よってD(0,0)

AD = $\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$

$BC = t - \frac{2a}{3t}$

AD = BCより $\sqrt{52} = t - \frac{2a}{3t}$

$\sqrt{52} = t - \frac{2*\frac{3}{2}t^2}{3t} = t - t = 0$

これはあり得ない。

A(4, 6), B(t, $\frac{a}{t}$)

直線ABの式は

$y - 6 = \frac{\frac{a}{t} - 6}{t - 4} (x - 4)$

直線ABとx軸の交点D(Xd, 0)

$0 - 6 = \frac{\frac{a}{t} - 6}{t - 4} (Xd - 4)$

$-6 (t - 4) = (\frac{a}{t} - 6) (Xd - 4)$

$Xd - 4 = \frac{-6(t-4)}{\frac{a}{t}-6} = \frac{-6t(t-4)}{a-6t}$

$Xd = 4 - \frac{6t(t-4)}{a-6t} = \frac{4a-24t-6t^2+24t}{a-6t} = \frac{4a-6t^2}{a-6t}$

$AD = \sqrt{(4-\frac{4a-6t^2}{a-6t})^2 + 6^2}$

$BC = t - \frac{2a}{3t}$

AD = BCを計算するのは困難。

(1)で求めたAの座標を使って考える。

A(4, 6)

3. 最終的な答え

(1) 点Aの $y$ 座標は 6

(2)　計算が複雑になるため、答えを求めることができませんでした。