不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

不等式 $2^n < 1000$ の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10}(2^n) < \log_{10}(1000)$

$n \log_{10}2 < \log_{10}(10^3)$

$n \log_{10}2 < 3$

$\log_{10}2 = 0.3010$ を代入します。

$0.3010n < 3$

$n < \frac{3}{0.3010}$

$n < \frac{3000}{301}$

$\frac{3000}{301} \approx 9.9667$

$n$ は整数なので、$n < 9.9667$ を満たす最大の整数は $9$ です。

念のため、$n=9$ の場合と$n=10$の場合を計算して確認します。

$2^9 = 512 < 1000$

$2^{10} = 1024 > 1000$

したがって、$2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ は 9 です。

3. 最終的な答え

9