不等式 $(\frac{1}{6})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

代数学不等式対数常用対数指数不等式の解法
2025/7/31

1. 問題の内容

不等式 (16)n<0.0001(\frac{1}{6})^n < 0.0001 を満たす最小の整数 nn を求めよ。ただし、log102=0.3010\log_{10} 2 = 0.3010, log103=0.4771\log_{10} 3 = 0.4771 とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 (16)n<0.0001(\frac{1}{6})^n < 0.0001 の両辺の常用対数をとります。常用対数は底が10の対数であり、不等号の向きは変わりません。
log10(16)n<log100.0001 \log_{10} (\frac{1}{6})^n < \log_{10} 0.0001
対数の性質より、
nlog10(16)<log10104 n \log_{10} (\frac{1}{6}) < \log_{10} 10^{-4}
nlog1061<4 n \log_{10} 6^{-1} < -4
nlog106<4 -n \log_{10} 6 < -4
両辺に-1をかけると、不等号の向きが変わります。
nlog106>4 n \log_{10} 6 > 4
ここで、log106=log10(2×3)=log102+log103\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 なので、
log106=0.3010+0.4771=0.7781 \log_{10} 6 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781
したがって、
n×0.7781>4 n \times 0.7781 > 4
n>40.7781 n > \frac{4}{0.7781}
n>5.1407... n > 5.1407...
nn は整数なので、不等式を満たす最小の整数は6です。

3. 最終的な答え

6

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