$1.44^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めます。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$1.44^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めます。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$1.44^n$ の整数部分が3桁であるとは、$100 \le 1.44^n < 1000$ となることです。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$log_{10}100 \le log_{10}1.44^n < log_{10}1000$

$2 \le n log_{10}1.44 < 3$

ここで、$log_{10}1.44 = log_{10}(144/100) = log_{10}144 - log_{10}100 = log_{10}(12^2) - 2 = 2log_{10}12 - 2 = 2log_{10}(2^2 \cdot 3) - 2 = 2(log_{10}2^2 + log_{10}3) - 2 = 2(2log_{10}2 + log_{10}3) - 2$

$log_{10}1.44 = 2(2 \times 0.3010 + 0.4771) - 2 = 2(0.6020 + 0.4771) - 2 = 2(1.0791) - 2 = 2.1582 - 2 = 0.1582$

したがって、$2 \le 0.1582n < 3$

$2/0.1582 \le n < 3/0.1582$

$12.642 \le n < 18.963$

これを満たす整数 $n$ は、 $13, 14, 15, 16, 17, 18$ の6個です。

3. 最終的な答え

6 個