$13.5^n$ の整数部分が4桁になるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

1. 問題の内容

$13.5^n$ の整数部分が4桁になるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

2. 解き方の手順

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるということは、$10^3 \le 13.5^n < 10^4$ が成り立つということである。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 10^3 \le \log_{10} 13.5^n < \log_{10} 10^4$

$3 \le n \log_{10} 13.5 < 4$

$3 \le n \log_{10} \frac{27}{2} < 4$

$3 \le n(\log_{10} 27 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n(3\log_{10} 3 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n(3 \times 0.4771 - 0.3010) < 4$

$3 \le n(1.4313 - 0.3010) < 4$

$3 \le n(1.1303) < 4$

$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$

$2.654 \le n < 3.539$

整数 $n$ は3のみ。

したがって、$n=3$のとき、$13.5^3 = 2460.375$となり、確かに整数部分は4桁である。

$n=2$のとき、$13.5^2 = 182.25$

$n=4$のとき、$13.5^4 = 33215.0625$

次に、$1000 \le (27/2)^n < 10000$ について、各辺の常用対数を取ると

$3 \le n \log_{10}(27/2) < 4$

$3 \le n (3 \log_{10} 3 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n (3(0.4771) - 0.3010) < 4$

$3 \le n(1.4313 - 0.3010) < 4$

$3 \le n(1.1303) < 4$

$3/1.1303 \le n < 4/1.1303$

$2.654 \le n < 3.539$

したがって、$n=3$である。

$n$は整数なので、$n=3$。

3. 最終的な答え

1個