円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を1つ持つということは、直線が円に接するということです。

直線を円の方程式に代入して、$x$ についての2次方程式を作り、判別式が0になる条件から $k$ の値を求めます。

直線 $y = x + k$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると、

$x^2 + (x + k)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 4$

$2x^2 + 2kx + k^2 - 4 = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 - 4)$

$D = 4k^2 - 8(k^2 - 4)$

$D = 4k^2 - 8k^2 + 32$

$D = -4k^2 + 32$

円と直線が接する条件は $D = 0$ なので、

$-4k^2 + 32 = 0$

$4k^2 = 32$

$k^2 = 8$

$k = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$k = \pm 2\sqrt{2}$