直線 $y = x + 2$ 上の点Pのx座標が $a$ であるとき、以下の問いに答えます。ただし、$a > 0$ とします。 (1) 点Pのy座標を求めなさい。 (2) 点Aはx軸上の点で、線分POの長さとPAの長さが等しくなるとき、点Aの座標を求めなさい。ここでOは原点です。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 2$ 上の点Pのx座標が $a$ であるとき、以下の問いに答えます。ただし、$a > 0$ とします。

(1) 点Pのy座標を求めなさい。

(2) 点Aはx軸上の点で、線分POの長さとPAの長さが等しくなるとき、点Aの座標を求めなさい。ここでOは原点です。

2. 解き方の手順

(1) 点Pのy座標を求める

点Pは直線 $y = x + 2$ 上にあるので、点Pのx座標が $a$ のとき、y座標は $a + 2$ となります。

(2) 点Aの座標を求める

点Aはx軸上の点なので、座標は $(x, 0)$ と表せます。

PO = PAとなるので、$PO^2 = PA^2$ が成り立ちます。

点Pの座標は $(a, a+2)$、点Oの座標は $(0, 0)$、点Aの座標は $(x, 0)$ なので、

$PO^2 = a^2 + (a+2)^2 = a^2 + a^2 + 4a + 4 = 2a^2 + 4a + 4$

$PA^2 = (a-x)^2 + (a+2-0)^2 = (a-x)^2 + (a+2)^2 = a^2 - 2ax + x^2 + a^2 + 4a + 4 = 2a^2 - 2ax + x^2 + 4a + 4$

$PO^2 = PA^2$ より、

$2a^2 + 4a + 4 = 2a^2 - 2ax + x^2 + 4a + 4$

$0 = -2ax + x^2$

$0 = x(x - 2a)$

よって $x = 0$ または $x = 2a$

$x = 0$ は点Aが原点Oと一致することを意味し、$PO = PA$を満たしません。なぜなら、$P$は$y=x+2$上の点なので$y>0$だからです。したがって、$a>0$であることより、$PO>0$です。一方、$A$が原点Oと一致すれば、$PA=0$となります。よって、$PO=PA$を満たすためには、$PO>0$でなければならないので、$x = 2a$

したがって、点Aの座標は $(2a, 0)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 点Pのy座標: $a + 2$

(2) 点Aの座標: $(2a, 0)$