台形ABCDを、直線ABを軸として回転させた立体Pと、直線CDを軸として回転させた立体Qがある。 (1) 立体Pの体積は、立体Qの体積の何倍か。 (2) 立体Pの表面積と立体Qの表面積とでは、どちらが何cm$^2$大きいか。

1. 問題の内容

台形ABCDを、直線ABを軸として回転させた立体Pと、直線CDを軸として回転させた立体Qがある。

(1) 立体Pの体積は、立体Qの体積の何倍か。

(2) 立体Pの表面積と立体Qの表面積とでは、どちらが何cm$^2$大きいか。

2. 解き方の手順

まず、台形ABCDの形状を確認する。ABとBCは垂直、BCとCDは垂直である。ADからBCに垂線を下ろした交点をEとすると、台形ABCDは、長方形ABCEと直角三角形ADEに分割できる。DEの長さは、ピタゴラスの定理より、$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$ cm。

したがって、AB = 2 cm、BC = 4 cm、CD = 2 + 3 = 5 cmである。

(1) 立体Pの体積

立体Pは、半径4 cm、高さ2 cmの円柱から、半径4 cm、高さ2 cmの円錐を引いたものになる。

円柱の体積は、$V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 2 = 32\pi$ cm$^3$

円錐の体積は、$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 2 = \frac{32}{3}\pi$ cm$^3$

したがって、立体Pの体積は、$V_P = 32\pi - \frac{32}{3}\pi = \frac{96-32}{3}\pi = \frac{64}{3}\pi$ cm$^3$

立体Qの体積

立体Qは、半径2 cm、高さ4 cmの円柱と、半径5 cm、高さ4 cmの円柱の差になる。

円柱の体積は、$V_{cylinder} = \pi r^2 h$。

したがって、立体Qの体積は、$V_Q = \pi \times 5^2 \times 4 - \pi \times 2^2 \times 4 = 100\pi - 16\pi = 84\pi$ cm$^3$

立体Pの体積は、立体Qの体積の何倍か

$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{\frac{64}{3}\pi}{84\pi} = \frac{64}{3 \times 84} = \frac{64}{252} = \frac{16}{63}$ 倍

(2) 立体Pの表面積

立体Pは、底面の半径が4 cmの円柱の側面と、円錐の側面、そして底面の半径が4 cmの円で構成されている。

円柱の側面積は、$S_{cylinder} = 2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 2 = 16\pi$ cm$^2$

円錐の側面積は、$S_{cone} = \pi r l = \pi \times 4 \times \sqrt{2^2 + 4^2} = \pi \times 4 \times \sqrt{20} = 8\sqrt{5}\pi$ cm$^2$

底面積は、$S_{base} = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$ cm$^2$

立体Pの表面積は、$S_P = 16\pi + 8\sqrt{5}\pi + 16\pi = (32 + 8\sqrt{5})\pi$ cm$^2$

立体Qの表面積

立体Qは、半径5 cm、高さ4 cmの円柱の側面と、半径2 cm、高さ4 cmの円柱の側面、そして半径5 cmの円と半径2 cmの円で構成されている。

円柱の側面積の和は、$S_{cylinder} = 2\pi r h + 2\pi r h = 2\pi \times 5 \times 4 + 2\pi \times 2 \times 4 = 40\pi + 16\pi = 56\pi$ cm$^2$

底面積の和は、$S_{base} = \pi r^2 + \pi r^2 = \pi \times 5^2 + \pi \times 2^2 = 25\pi + 4\pi = 29\pi$ cm$^2$

立体Qの表面積は、$S_Q = 56\pi + 29\pi = 85\pi$ cm$^2$

表面積の差

$S_Q - S_P = 85\pi - (32 + 8\sqrt{5})\pi = (53 - 8\sqrt{5})\pi \approx (53 - 8 \times 2.236)\pi \approx (53 - 17.888)\pi \approx 35.112\pi \approx 35.112 \times 3.14 \approx 110.24$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) 立体Pの体積は、立体Qの体積の $\frac{16}{63}$ 倍である。

(2) 立体Qの表面積の方が、立体Pの表面積より $(53-8\sqrt{5})\pi$ cm$^2$ 大きい。