直角三角形ABCにおいて、AB=8cm, BC=8cmである。点PはAを出発しAB上をBまで動く。点QはCを出発しBC上をBまで動く。PとQは同時に出発し、同じ速さで動く。台形APQCの面積が28cmになるのは、点PがAから何cm動いたときか。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=8cm, BC=8cmである。点PはAを出発しAB上をBまで動く。点QはCを出発しBC上をBまで動く。PとQは同時に出発し、同じ速さで動く。台形APQCの面積が28cmになるのは、点PがAから何cm動いたときか。

2. 解き方の手順

点PがAから$x$ cm動いたとき、点QはCから$x$ cm動く。

したがって、AP=$x$ cm, BQ=$x$ cmとなる。

BP = AB - AP = $8-x$ cm

CQ = BC - BQ = $8-x$ cm

台形APQCの面積は、三角形ABCの面積から三角形PBQの面積を引いたものに等しい。

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$ cm$^2$

三角形PBQの面積 = $\frac{1}{2} \times (8-x) \times (8-x) = \frac{1}{2}(8-x)^2$ cm$^2$

台形APQCの面積 = 三角形ABCの面積 - 三角形PBQの面積

$28 = 32 - \frac{1}{2}(8-x)^2$

$\frac{1}{2}(8-x)^2 = 32 - 28 = 4$

$(8-x)^2 = 8$

$8-x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

$x = 8 \mp 2\sqrt{2}$

$x$は0以上8以下の値を取るので、

$x = 8 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$8 - 2\sqrt{2}$ cm