問題は以下の2つの部分に分かれています。 (2-1) 半径6、中心角 $\frac{\pi}{3}$の扇形の弧の長さと面積を求めよ。 (3-1) $\sin\frac{13}{4}\pi$, $\cos\frac{13}{4}\pi$, $\tan\frac{13}{4}\pi$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分に分かれています。

(2-1) 半径6、中心角 $\frac{\pi}{3}$の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

(3-1) $\sin\frac{13}{4}\pi$, $\cos\frac{13}{4}\pi$, $\tan\frac{13}{4}\pi$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(2-1) 扇形の弧の長さ $l$ と面積 $S$ は、半径 $r$、中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて次の式で表されます。

$l = r\theta$

$S = \frac{1}{2}r^2\theta$

与えられた値 $r=6$、$\theta=\frac{\pi}{3}$ を代入します。

$l = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi$

$S = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\pi}{3} = 6\pi$

(3-1) $\frac{13}{4}\pi$ は $2\pi$ より大きいので、まず $2\pi$ の整数倍を引いて、$\frac{13}{4}\pi = \frac{5}{4}\pi + 2\pi$ となります。したがって、$\sin\frac{13}{4}\pi = \sin\frac{5}{4}\pi$, $\cos\frac{13}{4}\pi = \cos\frac{5}{4}\pi$, $\tan\frac{13}{4}\pi = \tan\frac{5}{4}\pi$を計算すれば良いです。

$\frac{5}{4}\pi$ は第3象限の角で、$\frac{5}{4}\pi = \pi + \frac{\pi}{4}$ なので、

$\sin\frac{5}{4}\pi = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\frac{5}{4}\pi = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan\frac{5}{4}\pi = \tan\frac{\pi}{4} = 1$

3. 最終的な答え

(2-1) 弧の長さ: $2\pi$, 面積: $6\pi$

(3-1) $\sin\frac{13}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{13}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan\frac{13}{4}\pi = 1$